2. Twierdzenie matematyczne i dowód
W świecie matematyki nie można się obejść bez twierdzeń. Jednym ze stwierdzeń, które pewnie już kojarzysz jest Twierdzenie Pitagorasa, które twierdzi, że suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi wartości przeciwprostokątnej.
Twierdzenie matematyczne to zdanie, które jest zawsze prawdziwe. Każde twierdzenie składa się z dwóch członów, z założenia oraz tezy. Założenie to wartości i dane, które przyjmujemy, a teza wykazuje co chcemy udowodnić.
Aby udowodnić twierdzenie używamy dowodu. Dowód to tok rozumowania, który prowadzi do wykazania, że dane twierdzenie jest prawdziwe. W dowodzie używamy znanych wzorów, definicji oraz twierdzeń, wcześniej udowodnionych, które wiadomo, że są prawdziwe.
Spokojnie, dowody nie są aż takie straszne, jak na pierwszy rzut oka może się wydawać. Często wymagają po prostu pokazania twojego rozumowania przy rozwiązywaniu danego zadania. Zadanie może brzmieć: Policz pole prostokąta o bokach 4cm i 6cm. Zadanie, które w istocie rzeczy będzie wymagało tego samego, może być sformułowane w sposób: Udowodnij, że jeżeli prostokąt ma boki o wymiarach 4cm i 6cm, to pole tego prostokąta wynosi 24cm^2. Dowody są o tyle prostsze, że zawierają odpowiedź na pytanie, a ty musisz tylko dojść do tego jak to wykazać.
Bardzo ważnym twierdzeniem matematycznym jest również twierdzenie o nierówności trójkąta. Twierdzenie to mówi, że suma długości dowolnych dwóch boków trójkąta, musi być większa niż długość trzeciego boku. W przeciwnym razie, nie jest to trójkąt.
Przykład:
Posiadając odcinki o długości 6, 7 oraz 9, jesteśmy w stanie zbudować z nich trójkąt, ponieważ:
- 6 + 7 = 13, 13 > 9
- 7 + 9 = 16, 16 > 6
- 6 + 9 = 15, 15 > 7
Posiadając odcinki o długości 2, 3 oraz 6, NIE jesteśmy w stanie zbudować z nich trójkąta, bo mimo, że 2 + 6 > 3 oraz 3 + 6 > 2, co spełnia warunek, to 2 + 3 jest liczbą mniejszą niż 6. Nie moglibyśmy utworzyć trójkąta również wtedy, gdyby suma długości dwóch boków była równa trzeciemu (np. odcinki 2, 3 i 5).
Dowody wymagają po prostu wprawy, dlatego zachęcamy Cię, do wykonania kilku ćwiczeń w celu utrwalenia wiedzy o twierdzeniach i dowodach. W ćwiczeniach znajdziesz również zadania dotyczące nierówności trójkąta.
1. Kąty i ich własności
Umiejętność rozpoznawania i identyfikacji kątów to bardzo przydatna umiejętność, która z pewnością może pomóc w zaoszczędzeniu czasu na egzaminie. Dobra znajomość tego rozdziału może zaoszczędzić niepotrzebnego stresu w skomplikowanym zadaniu.
Mamy wiele rodzajów kątów, które mają swoje własne właściwości. Kąty mogą zostać sklasyfikowane na wiele sposobów. Głównym ich podziałem jest podział ze względu na miarę kąta, którą wyrażamy w stopniach. Rodzaje kątów, które powinien-eś/-aś znać to:
-
Kąt ostry - to kąt, którego miara jest większa niż 0 stopni, lecz mniejsza niż 90 stopni
-
Kąt prosty - to kąt, którego miara wynosi dokładnie 90 stopni
-
Kąt rozwarty - to kąt, którego miara jest większa niż 90 stopni, lecz mniejsza niż 180 stopni
-
Kąt półpełny - to kąt, którego miara wynosi dokładnie 180 stopni
-
Kąt pełny - to kąt, którego miara wynosi dokładnie 360 stopni
-
Kąt wklęsły - to kąt, którego miara jest większa niż 180 stopni, ale mniejsza niż 360 stopni
Idąc dalej kąty można podzielić na kąty przyległe oraz kąty wierzchołkowe.
-
Kąty przyległe to kąty, które mają jedno wspólne ramię, a reszta ramion tworzy kąt półpełny (180 stopni). Suma wartości tych kątów wynosi w takim razie 180 stopni.
-
Kąty wierzchołkowe to kąty, które stykają się wierzchołkami, a ich ramiona przecinają się na dwóch prostych. Wartości takich kątów są zawsze równe.
Ostatnią klasyfikacją kątów jest podział na kąty odpowiadające i kąty naprzemianległe. Obie definicje tych kątów są prawdziwe przy założeniu, że kąty powstają w wyniku przecięcia dwóch prostych równoległych względem siebie poprzez trzecią prostą.
-
Kąty nazywamy odpowiadającymi, gdy dwie proste są równoległe, a kąty są położone tak jak pokazane na obrazku. Wtedy kąty są równe.
-
Kąty nazywamy naprzemianległymi, gdy dwie proste są równoległe, a kąty są położone tak jak na obrazku. Wszystkie kąty zaznaczone na obrazku są równe, natomiast ich nazewnictwo się różni. Na tym obrazku pary kątów a i b tworzą również kąty odpowiadające.
Dwusieczna kąta jest półprostą poprowadzoną od wierzchołka kąta w taki sposób, że dzieli kąt na dwie części o równej mierze. Dobrze jest wiedzieć, że może ona dzielić zarówno kąt wypukły jak w wklęsły, aczkolwiek na obecną chwilę potrzebujesz wiedzieć tylko jak wygląda to w kącie wypukłym.
Istotną rzeczą, która dochodzi w tej sekcji jest znajomość i umiejętność rozpoznawania kątów w czworokątach. Dobrze jest wiedzieć, że:
-
W kwadracie i prostokącie wszystkie kąty posiadają miarę 90 stopni, czyli są kątami prostymi
-
Suma wszystkich kątów w dowolnym czworokącie jest równa 360 stopni
-
Przeciwległe kąty równoległoboku mają równą miarę
-
Suma miar kątów przy każdym ramieniu trapezu jak i każdym boku równoległoboku wynosi 180 stopni
Równoległobok to czworokąt, którego obie pary boków są równoległe względem siebie.
Trapez to czworokąt, który posiada co najmniej jedną parę boków równoległą.
Z informacji powyżej możemy wywnioskować, że każdy równoległobok jest trapezem, natomiast nie każdy trapez jest równoległobokiem.
Zachęcamy Cię do utrwalenia wiadomości z tej sekcji poprzez wykonanie kilku ćwiczeń, które mają na celu pomóc Ci w przyswojeniu wiadomości z tego podrozdziału.
W tym rozdziale:
FIGURY NA PŁASZCZYŹNIE